هندسة تحليلية 1 / ث ترم أول

 تقسيم قطعة مستقيمة :ـ إذا كانت أ = ( س1 ، ص1 ) ، ب = ( س2 ، ص2 )
، جـ تقسم أ ب بنسبة م1 : م2 ، جـ = ( س ، ص ) فإن

س = ، ص = و هذا إذا كان التقسيم من الداخل

أما إذا كان التقسيم من الخارج بدل ( + ) في القانون نضع ( - )
ملاحظة مهمة جداً : إذا كانت جـ منتصف أ ب فإن س = ،، ص =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1: إذا كانت أ = ( 3، -2 ) ، ب = ( -1 ، 5 ) فأوجد إحداثي نقطة جـ التي تقسم أ ب
(I) من الداخل بنسبة 2 : 1 ( II ) من الخارج بنسبة 4 : 3
الحل:ـ (I) س1 = 3 ، س2 = -1 ، ص1 = -2 ، ص2 = 5 ، م1 = 2 ، م2 = 1
نفرض إحداثي جـ ( س ، ص )
 س = = 1/3 ،، ص = = 8/3  جـ =(1/3 ، 8/3)

(II) م1 = 4 ، م2 = 3
 س = = 13 ، ص = = 26  جـ = ( 13 ، 26)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) إذا كانت أ = ( 4 ، 3 ) ، ب= ( -3 ، 5 ) و كانت جـ  أ ب بحيث 3 أ جـ = 5 جـ ب أوجد جـ ؟
الحل:ـ ჻ س1 =4 ، س2 = -3 ، ص1 = 3 ، ص2 = 5 ،، ჻ 3 أ جـ = 5 جـ ب  =
 م1 = 5 ،، م2 = 3 نفرض جـ = ( س ، ص )
 س = = -3/8 ، ص = = 34/8 = 17/4

 جـ = ( -3/8 ، 17/4 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) إذا كانت أ = ( 3 ، 4 ) ، ب = ( -5 ، 2 ) فأوجد إحداثيات نقطة جـ إذا كانت جـ  أ ب ، جـ  أ ب
، 3 أ جـ = 5 جـ ب
الحل:ـ س1 = 3 ، س2 = -5 ، ص1 = 4 ، ص2 = 2 ჻ جـ  أ ب  التقسيم من الخارج
 =  م1 = 5 ، م2 = 3

 س = = -17 ، ص = = -1  جـ = ( -17 ، -1 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4)  أ ب جـ فيه أ = ( -1، 2) ، ب= ( -2 ، -1 ) ، جـ = ( 2، 3 ) أوجد نقطة تقاطع متوسطاته ؟
الحل:
نفرض أن مـ هي نقطة تقاطع متوسطات  أ ب جـ ، مـ = ( س ، ص )
 ( س ، ص ) = ( ، ) = ( ،

 مـ = ( -1/ 3 ، 4/ 3 )
(5) إذا كانت أ = ( -1 ، 3 ) ، ب = ( 5، -3) ، جـ = (3 ، ك) ـ أوجد النسبة التي تنقسم بها أ ب بنقطة جـ مبيناً نوع التقسيم ــ ثم أوجد قيمة ك ؟
الحل:ـ س1 = -1 ، س2 = 5 ، ص1 = 3 ، ص2 = -3 نفرض أن جـ تقسم أ ب بنسبة م1 : م2
჻ س=  3 =  3 م1 + 3م2 = 5م1 - م2

 2 م1 = 4 م2  = = 2 / 1  التقسيم من الداخل ، ჻ م1 = 2 ، م2 = 1

 ك = = = - 1 #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(6) أوجد النسبة التي يقسم بها محور السينات القطعة المستقيمة أ ب حيث أ = ( 2، 3 )
، ب= (-3 ، 7 ) مبيناً نوع التقسيم ـ ثم أوجد إحداثي نقطة التقسيم ؟
الحل:ـ أي نقطة علي محور السينات تكون ( س ، 0 )  ص معلومة = صفر
، ჻ ص =  صفر =  7 م1 + 3م2 = صفر

 7م1 = - 3 م2  =  التقسيم من الخارج ، م1 = 3 ، م2 = 7

 س = = = 21/4 #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(7) أ ب جـ د متوازي أضلاع فيه أ = ( 7، -2) ، ب = ( 15 ، 4 ) ، جـ = ( 9 ، 6) ـ
ـ أوجد إحداثي نقطة تقاطع القطرين ثم أوجد نقطة د 00
الحل:ـ في متوازي الأضلاع القطران ينصف كلاً منهما الأخر نفرض أن م هي نقطة تقاطع القطرين

 مـ منتصف أ جـ  مـ = ( ، ) = ( ، ) = ( 8،2 )

نفرض د = ( س ، ص ) ، ჻ مـ منتصف ب د أيضاً

 (8 ، 2 ) = ( ، )

 8 =  15 + س = 16  س = 1

، 2 =  4 + ص = 4  ص = 0
 إحداثيات نقطة د = ( 1 ، 0 ) #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ




 معادلة الخط المستقيم :ـ
الشرط الأساسي لمعرفة معادلة الخط المستقيم هو معرفة نقطة عليه . ثم أي شرط أخر معها
ـ بفرض النقطة ( س1 ، ص1 )  تكون المعادلة علي الصورة = الشرط المعطي .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 3 ، -1 ) وميله =
الحل:ـ = مـ [ الميل]  =

 2ص+2 = 3س-9  2ص-3س+ 11 = صفر ( و هي المعادلة المطلوبة )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ( 3 ، 2 ) ، ( -1 ، 1 )
الحل:ـ
=  = =


 4ص- 8 = س- 3  4 ص- س - 5 = صفـــــــــر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله 3 و يقطع من محور الصادات جزء طوله 5 وحدات
الحل:ـ المعادلة : ص = مـ س + ب حيث مـ الميل ، ب الجزء المقطوع من محور الصادات
 ص = 3 س + 5 المعادلة المطلوبة 00
حل أخر : نقطة التقاطع مع محور الصادات هي ( 0 ، 5 ) ، الميل = 3  =3 أكمل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يقطع محور السينات في النقطة ( 3، 0 ) و محور الصادات في النقطة ( 0 ، 4 )
الحل:ـ المعادلة هي + = 1
حل أخر ჻ النقطتين هما (3 ، 0 ) ،، ( 0 ،4)  المعادلة هي = أكمل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ملاحظات مهمة جداً :
(1) الخط المستقيم الذي علي الصورة أ س + ب ص = جـ يكون ميله= [- معامل س ÷ معامل ص]
و لمعرفة نقطة التقاطع مع محور س نضع ص = 0 ، لمعرفة نقطة التقاطع مع ص نضع س=0
(2) المستقيم الذي معادلته ص = أ يوازي محور السينات و ميله = صفر و يمر بالنقطة ( 0 ، أ )
(3) المستقيم الذي معادلته س= ب يوازي محور الصادات و ميله غير معرف و يمر بالنقطة ( ب ، 0)
(4) شرط توازي المستقيمين ل1 ،، ل2 أن يكون مـ1 = مـ2
(5) شرط تعامد المستقيمين ل1 ، ل2 أن يكون مـ1 × مـ2 = -1
(6) إذا كان ميل مستقيم هو ب/ جـ فيكون ميل الموازي له = ب / جـ و ميل العمودي عليه =- جـ / ب



مثال5: أكمل ما يأتي00
(1) الخط المستقيم الذي معادلته 6س + 2ص = 3 يكون ميله = 000000
(2) الخط المستقيم الذي معادلته ص = 3 يوازي 000000 و ميله = 0000000
(3) الخط المستقيم الذي معادلته 2س - 3ص = 12 يقطع محور السينات في النقطة 000000
(4) المستقيمان س+ 2 = 0 ، ص = 2 00000000000
الحل:ـ (1) -6 / 2 = -3 (2) يوازي محور س و ميله = صفر
(3) ( 6 ، 0 ) ( 4) متعامدان 00 #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(6) أوجد قيمة ك التي تجعل المستقيمين ل1 : 2س+ 4ص = 5 ،، ل2 : 3س+ ك = 0
I) متوازيان II) متعامدان
الحل:ـ مـ 1 = ،، مـ 2 =
(I) شرط التوازي الميل = الميل  =  -2ك =- 12  ك = 6

(II) شرط التعامد مـ1 × مـ2 = -1  × = -1  =-1  4ك= -6  ك= -6/4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(7) إذا كان المستقيمان 6س - ( هـ - 2 ) ص = 1 ،، 5س- ص = صفر متوازيان فأوجد قيمة هـ
الحل:ـ مـ1 = ،، مـ 2 = ، ჻ ل1 // ل2  مـ1 = مـ2

 =  5 هـ - 10 = 6  5هـ = 16  هـ = 16 / 5 #

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( - 1، - 2 ) و موازيا الخط المستقيم 3س-2ص= 6
الحل:ـ ჻ ميل المستقيم المعطي =  ميل المستقيم المطلوب = لأنهما متوازيان

 المعادلة =  3س+ 3 = 2ص+ 4  3س- 2ص = 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(9) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 2 ، 3 ) و عمودي علي المستقيم 2س+ ص = 0
الحل:ـ ჻ ميل المعطي =  ميل العمودي عليه ( المطلوب ) =

 المعادلة هي : =  س- 2 = 2ص- 6  س- 2ص + 4 = صفر #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(10) أوجد معادلتي المستقيمين اللذين يمران بالنقطة ( 3 ، -4 ) و يوازيان المحورين
الحل:ـ
س = 3 هو المستقيم الموازي لمحور ص و يمر بالنقطة المعطاة
، ص = -4 هو المستقيم الموازي لمحور س و المار بالنقطة المعطاة 00
ـ ميل الأول = غير معرف ،، ميل الثاني = صفـــــــــــــر 000
(11) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 2 ، -3 ) و يوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين
( 2 ، 3 ) ، ( 1، 1 ) و إذا مر هذا المستقيم بالنقطة ( ك ، 3 ) فأوجد ك ؟
الحل:ـ المستقيم المار بالنقطتين ( 2، 3 ) ، ( 1،1) ميله = = 2
 ميل المستقيم المطلوب = 2
 معادلته هي : = 2  2س- 4 = ص+ 3  [ 2س- ص - 7 = 0 ]

، ჻ النقطة ( ك ، 3 ) تقع عليه  تحقق معادلته  2ك- 3- 7 = 0  2ك=10  كـ = 5 #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(12) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 0 ، 3) و عمودياً علي الخط المستقيم المار بالنقطتين
أ ( 2، 1) ، ب ( 0 ، -2 )

الحل:ـ ميل أ ب = =  ميل العمودي عليه = [ ميل المستقيم المطلوب ]

 المعادلة المطلوبة : =  3ص- 6 = -2س  2س+ 3ص = 6 #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(13)  أ ب جـ فيه أ ( 2، 5 ) ، ب ( 4، 1 ) ، جـ ( 3 ، 0) ، مـ هي نقطة تقاطع متوسطاته فأوجد
معادلة الخط المستقيم أ مـ 00
الحل:ـ
჻ مـ = ( ، ) = ( ، ) = (3، 2)

 معادلة المستقيم أ مـ : = =  3س- 6 =- ص + 6  3س+ ص= 12
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(14)  أ ب جـ فيه أ = ( 4 ، 2 ) ، ب = ( 0 ، -2 ) ، جـ = ( 6 ، 4 )
، د منتصف ب جـ ــ أوجد : إحداثي نقطة د ،، معادلة أ د ثم إثبت أنه يمر بالنقطة ( 5 ، 3)
الحل:ـ
჻ د منتصف ب جـ  د = ( ، ) = ( 3 ، 1 )

 المستقيم المطلوب يمر بالنقطتين أ ( 4 ، 2 ) ، د ( 3 ، 1 )

 معادلته : = = 1  ص - 2 = س - 4

 المعادلة هي : س - ص - 2 = صفر

ـ لإثبات أن هذا المستقيم يمر النقطة ( 5 ، 3 ) نعوض بها في معادلته
 5- 3 - 2 = 5 - 5 = صفر ჻ النقطة تحقق المعادلة  المستقيم يمر بها #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 الزاوية بين مستقيمين :ـ
ميل المستقيم : مـ = ظا هـ حيث هـ هي الزاوية التي يصنعها المستقيم مع الإتجاه الموجب لمحور السينات 00
مثال: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 3 ، -3 ) و يصنع مع الإتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها 45 ْ
الحل :ـ المعادلة هي : = ظا هـ = ظا 45 = 1  س- 3 = ص+3  س- ص-6= 0 #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تعريف : إذا كان ل1 ، ل2 مستقيمين ميلاهما مـ1 ، مـ2 فإن
ظا هـ = | | حيث هـ هي قياس الزاوية الحادة بينهما 00
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1: أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين 2س- ص = 5 ،، 3س + ص = 0
الحل:ـ مـ1 = 2 ، مـ2 = -3
، ظا هـ = | | = | | = 1 ჻ ظا هـ = 1  هـ = 45 ْ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين 2س+ ص = 3 ،، =
الحل:ـ ჻ مـ1 = - 2 ،، مـ2 =

 ظا هـ = | | = 8/7  هـ = sh tan ( 8/7) = 8و48ْ = 48/ 48 ْ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) أوجد قياس الزاوية التي يصنعها المستقيم 3س- 2ص + 4 = صفر مع محور السينات
الحل:ـ ميل المستقيم مـ1 = ، ميل محور السينات مـ 2 = صفر

 ظا هـ = | | = 3/2 ق(< هـ ) = sh tan ( 3/2) = 3و56 ْ = 18/ 56 ْ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين أ س - ص = 5 ، 2س- ص = 3 هو فأوجد قيمة أ
الحل:ـ مـ 1 = أ ،، مـ 2 = 2 ،، ظا هـ =

، ჻ ظا هـ =  =  3 أ - 6 = 2 + 4 أ


 4 أ - 3 أ = -6 - 2  أ = - 8 #


(5) إذا كانت قياس الزاوية بين المستقيمين س- 2ص + 1 = 0 ، س+ ك ص = 2 هي 45 ْ أوجد ك
الحل:ـ مـ1 = ،، مـ2= ، ظا هـ = ظا 45 = 1

 ظا هـ =  1 =  1 = بالضرب × 2ك


 1 =  2ك- 1 = ك+2  ك = 3 #
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(6) أوجد قياسات زوايا  أ ب جـ الذي فيه أ = ( 5، 1) ، ب = ( 3، 4 ) ، جـ = ( -1، 2)
الحل:ـ
ميل أب = = [مـ1] ،، ميل ب جـ = = [ مـ2] ،، ميل أ جـ = [ مـ 3]

لحساب ق(< أ ) نحسب الزاوية بين أ ب ، أ جـ

 ظا أ = = = |-16/15 |  ق(< أ ) = 8و46 ْ


، بالمثل نحسب < ب ،، < جـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(7) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 2 ، - 2) و يصنع مع الخط المستقيم 3ص+ 4س = 0
زاوية قياسها 45 ْ
الحل:ـ ميل المستقيم المطلوب مـ1 ، ميل المستقيم المعطي = = مـ 2 ، ظا هـ = ظا 45 = 1

 ظا هـ =  1 =  1 =


 3 مـ 1 + 4 = 3- 4 مـ1  7 مـ1 = -1  مـ 1 =
 معادلة الخط المستقيم هي : =  س + 7ص + 12 = صفر

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( إذا كانت هـ هي قياس الزاوية بين المستقيمين ك س- 2ص + 4 = 0 ، س- ص = 6
بحيث جتا هـ = فأوجد قيمة كـ
الحل:ـ
مـ1 = ،، مـ2 = 1 ، ظا هـ =

 ظا هـ =  =  =

 4ك - 8 = 3ك + 6  ك = 14 #

طول العمود المرسوم من نقطة علي خط مستقيم :
طول العمود المرسوم من النقطة ( س1 ، ص1 ) إلي الخط المستقيم أ س + ب ص + جـ = 0

ل = لابد و أن تكون معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة 00

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (5،2) إلي الخط المستقيم الذي معادلته 3س+4ص-1=0
الحل:ـ
ل = = 26/ 5 = 2و5 وحدة طول

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( 2 ، 1) إلي المستقيم المار بالنقطة ( -2، 0) و ميله
الحل:ـ معادلة الخط المستقيم
هي =  3س+ 6 = 4ص  3س - 4ص + 6 = صفر

 طول العمود ل = = 8 / 5 وحدة طول

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (5 ،1) إلي الخط المستقيم أ ب حيث أ(2، 0) ، ب(1، -2 )
الحل:ـ
معادلة المستقيم أ ب : = =  2س- ص - 4 = صفر


 ل = = = وحدة طـــــــــــــــول #

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) أوجد طول العمود المرسوم من نقطة الأصل إلي الخط المستقيم الذي معادلته + = 1
الحل:ـ بضرب معادلة الخط المستقيم × 6  3س+ 2ص = 6  3س+2ص- 6 = 0

 ل = = وحـــــــــــــدة طــــــــــــــــــــول # : نقطة الأصل(0،0)

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(5) إذا كان طول العمود المرسوم من النقطة ( 2، 1) إلي الخط المستقيم ك س + 4ص =0 يساوي 2
وحدة طول ـ فأوجد قيمة كـ ؟
الحل:ـ ل = = 2  2 ( ) = 2 ك + 4 ، بالقسمة ÷2 و التربيع


 ك2 + 16 = ( ك+ 2)2  ك2 + 16 = ك2 + 4ك + 4  4ك =12  ك = 3 #


(6) إثبت أن المستقيمين 2س- ص = 1 ، 4س - 2ص = 7 متوازيان ثم أوجد البعد بينهما ؟
الحل:ـ مـ 1 = 2 ،، مـ 2 = 4 / 2 = 2 ჻ مـ 1= مـ 2  المستقيمان متوازيان
ـ لإيجاد البعد بينهما : نحسب نقطة علي أي مستقيم منهما ثم نحسب البعد بينها و بين المستقيم الأخر
من المستقيم الأول : نضع س = 1  2- ص = 1  ص = 1  النقطة (1،1)  ل1
 نحسب البعد بينها و بين المستقيم الثاني : 4س- 2ص- 7 = 0

 ل = = وحدة طول #

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(7)  أ ب جـ فيه أ = ( 3، 6 ) ، ب = ( 6 ، 2 ) ، جـ = ( 1، 3 ) أوجد
(1) طول ب جـ (2) معادلة ب جـ
(3) طول العمود النازل من أ إلي ب جـ (4) مـ  أ ب جـ
الحل:ـ (1) طو ب جـ = ( 6- 1)2 + ( 2- 3)2 = وحدة طول [ القاعدة ]

(2) معادلة ب جـ : = =  س + 5 ص - 16 = صفر

(3) طول العمود النازل من أ إلي ب جـ = = وحدة طول [ الإرتفاع]


(4) مـ  أ ب جـ = طول القاعدة ×ع = × × = 5و8 وحدة مربعة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( أوجد بعد النقطة ( -1 ، 2) عن الخط المستقيم المار بالنقطة ( 2 ، -3 ) و الذي يصنع زوايا
متساوية مع محوري الإحداثيات ؟
الحل:ـ
჻ المستقيم المطلوب يصنع زوايا متساوية مع محوري الإحداثيات هـ = 45 ْ حيث هـ هي قياس
الزاوية بينه و بين محور السينات
 ميله = ظا هـ = ظا 45 = 1

 معادلته : = 1  س - 2 = ص + 3  س - ص - 5 = صفر 


 بعد النقطة ( -1 ، 2 ) عنه : ل = =


 بعد النقطة = وحــــــــــــدة طــــــــــــــــــــــول # @




 المعادلة العامة للخط المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين :ـ
* نحل معادلتي المستقيمين المعلومين حل جبري لمعرفة نقطة التقاطع و تكون هي النقطة التي يمر بها المستقيم المطلوب ـ ثمـ نستخدمها مع الشرط الأخر المعطي و نعرف معادلة المستقيم المطلوب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال1: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 2س+ ص = 5 ، س- ص = 1
و ميله = 3
الحل:ـ نحل المعادلتين جبرياً  2س+ ص = 5 -----[1]
س- ص = 1 -----[2] بالجمع
 3س = 6  س = 2 ، من 1  ص = 1  المستقيم يمر بالنقطة ( 2، 1 )

 معادلته : = 3  3س- 6 = ص- 1  3س- ص- 5 = صفر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ 2ص = 3 ، س+ ص = 1
و يمر بالنقطة ( 3 ، 5 )
الحل:ـ نحل المعادلتين : س+ 2ص = 3 ------- [1]
س+ ص = 1 ------ [2] بالطرح
 ص = 2 ،، من 2  س = -1  المستقيم يمر بالنقطة ( -1 ، 2 ) و يمر بـ ( 3، 5 )

 معادلته : = =  3س+ 3 = 4ص- 8  3س-4ص+ 11 = 0
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ 2ص = 7 ، 3س-2ص = 3
و عمودياً علي المستقيم الثاني
الحل:ـ نحل المعادلتين : س+ 2ص = 7 ----- [1]
3س- 2ص = 5 ------ [2] بالجمع  4س=12  س=3 ، ص=2
 المستقيم المطلوب يمر بالنقطة ( 3 ، 2 )
، ჻ ميل المستقيم الثاني  ميل العمودي عليه ( ميل المطلوب) =

 معادلته : =  3ص- 6 = -2س + 6  2س + 3ص - 12 = صفر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س = 2 ، س + ص= 1 و يوازي
الخط المستقيم الذي معادلته 3س- ص = 11
الحل:ـ نحل المعادلتين : س = 2 ، س+ ص = 1 بالتعويض عن س  ص = -1
 المستقيم المطلوب يمر بالنقطة ( 2 ، -1 )
ميل المستقيم : 3س- ص = 11 هو 3  ميل الموازي له = 3 [ ميل المستقيم المطلوب ]

 معادلته : = 3  3س- 6 = ص+ 1  3س- ص - 7 = صفر #


 تماريـــــــن عامة :ـ
( البعد بين نقطتين )
(1) إذا كان أ = ( 3 ، 1 ) ، ب = ( -1 ، 1 ) ، جـ = ( 5 ، 2 ) فأوجد طول أ ب ، ب جـ
(2) أوجد أطوال أضلاع  أ ب جـ الذي فيه أ( 2، 5 ) ، ب ( 5 ، 0 ) ، جـ ( -1 ، 2 )
(3) إثبت أن النقط د ( 3، -2 ) ، هـ ( -2 ، 3 ) ، و ( 8 ، - 7 ) علي إستقامة واحدة
(4) إثبت أن المثلث الذي رؤسه أ ( 1، -2) ، ب ( -4 ، 2 ) ، جـ ( 1 ، 6 ) متساوي الساقين
(5) إثبت أن الشكل الذي رؤسه أ ( 3، 2 ) ، ب ( 0، 5 ) ، جـ ( -3 ، 2 ) ، د ( 0 ، -1)
مربع ثم أوجد مساحة سطحه ؟
(6) إذا كان بعد النقطة (س ، 5 ) عن النقطة ( 6 ، 1 ) يساوي فأوجد قيمة س ؟
(7) إذا كانت النقطة ( ك ، 1) علي بعديين متساويين من النقطتين أ ( 4، 2 ) ، ب ( 3، 3 ) فأوجد ك
( إثبت أن النقط أ ( -2 ، 4) ، ب ( 5 ، -3 ) ، جـ ( 7 ، 1 ) ، د ( 0 ، 8 )
هي رؤس متوازي أضلاع ؟
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
التقسيمـ :ـ
(1) إذا كانت أ = ( 3، 1) ، ب = ( 2، 5 ) فأوجد إحداثي نقطة جـ إذا كانت
(i) جـ  أ ب ، 2 أ جـ = 3 جـ ب
(ii ) جـ  أ ب بحيث 2 أ جـ = 5 جـ ب

(2) أوجد إحداثي نقطة جـ التي تقع في ربع المسافة بين أ ، ب إذا كانت أ = (-1، -1) ، ب = (6، 4)

(3) إذا كانت أ = ( 3، 4 ) ، ب = ( -2 ، 3 ) فأوجد إحداثي نقطة جـ التي تقسم أ ب
من الخارج بنسبة 3 : 1

(4) إذا كانت أ = ( 3 ، -2 ) ، ب = ( -2 ، 3 ) ، جـ = ( ك ، 8 ) فأوجد النسبة التي تقسم بها نقطة جـ القطعة المستقيم أ ب مبيناً نوع التقسيم ثم أوجد قيمة كـ

(5) أوجد النسبة التي يقسم بها محور الصادات القطعة المستقيمة أ ب بحيث أ = ( 5، 2 )
، ب = ( 2، -2 ) مبيناً نوع التقسيم و أوجد كذلك نقطة التقاطع

(6) أ ب جـ د متوازي أضلاع فيه أ = (3، -1 ) ، ب = ( -5 ، 2) ، جـ = ( -2 ، 4 ) أوجد د

(7) من الشكل المرسوم أوجد جـ ، د
إذا كان أ جـ = جـ د = د ب


(  أ ب جـ فيه أ = ( 3 ، 2 ) ، ب = ( 1، - 2 ) ، جـ = ( -1 ، 6) أوجد إحداثي نقطة
تقاطع متوسطاته ؟



الخط المستقيم :ـ
(1) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( -2 ، 5 ) و ميله 3
(2) اوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 0، 3 ) و ميله

(3) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ( 4 ، 2 ) ، ( 2 ، - 1 )
(4) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 3 ، 7 ) و موازياً محور السينات
(5) أوجد ميل الخط المستقيم : 3س + 2ص = 12 ثم أوجد نقط تقاطعه مع محوري الأحداثيات
(6) أوجد معادلة الخط المستقيم الي يقطع محور السينات في النقطة ( 3، 0) و يقطع محور الصادات في النقطة ( 0 ، 4 )

(7) إذا كان ل1 : ( 2 ك - 1) س - ص + 5 = 0 ، ل1 : 3س - ص = 0 فأوجد قيمة ك إذا كان
(i) ل1  ل2 (ii ) ل1 // ل2
( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( -1 ، 1) و يوازي الخط المستقيم 2س- 3ص = 9
(9) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالقطة ( 2، 6 ) و عمودياً علي المستقيم 2س+ ص - 5 = 0
(10) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 3، 5 ) و موازياً الخط المستقيم جـ د بحيث
جـ = ( 5 ، 3 ) ، د = ( 2 ، 0 )
(11) إذا كان أ جـ  جـ ب بحيث أ = (2، 3 ) ، ب = ( 5 ، 7 ) ، جـ = ( 1، ص ) فأوجد ص
(12) إذا كانت أ = ( -4 ، 4) ، ب = ( -1 ، -2) و كانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة 1: 2
، د = ( 2 ، 3 ) فأوجد معادلة الخط المستقيم جـ د
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الزاوية بين مستقيمين :ـ
(1) أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين : 3س- ص + 5 = 0 ، س+ ص = 11

(2) أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين = 3 ،، 2س - 3ص = 2

(3) أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين + = 3 ،، س - 2ص = 2

(4) إذا كانت قياس الزاوية بين المستقيمين ك س- ص = 5 ، س- 2ص = 3 هي 45 ْ أوجد ك

(5) إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين 2س- ب ص = 7 ، س + 2ص = 1 هي فأوجد ب

(6) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( -1، 3) و يصنع مع المستقيم 2س- ص =1
زاوية ظلها يساوي

(7)  أ ب جـ فيه أ = ( -3، 2) ، ب = ( -3 ، -13) ، جـ = ( 5، 3) ، د منتصف ب جـ
أوجد قياس الزاوية بين أ د ، ب جـ
( إذا كان الخط المستقيم ل يصنع زاوية جيب تمامها = مع الخط المستقيم ل/ : 3س- ص =0

فما هو ميل الخط المستقيم ل ؟ و أوجد معادلة الخط المستقيم ل إذا كان يمر بالنقطة ( 1، -2)

البعد بين نقطة و خط مستقيم :ـ
(1) أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( 2، 3 ) إلي الخط المستقيم 4س+ 3ص + 5 = 0
(2) أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( -1 ، 2 ) إلي الخط المستقيم المار بالنقطتين
أ = (1،2) ، ب = (4،3)
(3) إذا كان الخط المستقيم ل : 6س+ 8ص + 1 = 0 مماس للدائرة التي مركزها (1، 1)
ـ فأوجد طول نصف قطر هذه الدائرة
(4) أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( 1، 5) إلي المستقيم المار بالنقطة ( 0، 1) و موازياً الخط المستقيم 3س- ص = 1
(5) أوجد معادلةالخط المستقيم المار بالنقطة ( -2، 2 ) و عمودياً علي المستقيم 2س+ 5ص = 1
ثم أوجد بعد نقطة الأصل عنه
(6) إثبت أن المستقيمين ل1 : 3س+ ص = 0 ،، 6س+2ص = 5 متوازيان ثم أوجد البعد بينهما

(7) أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله يساوي و طول العمود الساقط عليه من النقطة
(2، -1) يساوي 2 وحدة طول
(  أ ب جـ فيه أ = ( 3، 2 ) ، ب = ( -2 ، 5 ) ، جـ = ( 1، -2 ) أوجد
(i) طول ب جـ (ii) معادلة ب جـ (iii) طول العمود المرسوم من أ إلي ب جـ
(v ) مساحة  أ ب جـ
(9) إذا كان معادلة المستقيم ل1 :3س-4ص-10= 0، معادلة المستقيم ل2 :6س+ ب ص+ جـ =0
و كان ل1 // ل2 ، أ = ( -2 ، 0 )  ل2 فأوجد
(i) قيمتي ب ، جـ ( ii) البعد بين ل1 ، ل2 (iii) معادلة المستقيم المار بـنقطة أ ، عمودي علي ل1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين :ـ
(1) أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ ص = 1 ، س- ص = 3 و ميله 2
(2) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س- 2ص = 1 ، 2س+ ص = 7
و يمر بالنقطة ( - 1، 3 )
(3) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ 2ص = 7 ، س+ ص =3
و عمودياً علي المستقيم الثاني
(4) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س - ص = 4 ، ص+ 3 = 0
و يصنع زاوية قياسها 135 ْ مع الإتجاه الموجب لمحور السينات 00
(5) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س + 3ص = 6 ، 2س-3ص = 3
و موازياً الخط المستقيم 2س- ص = 15
(6) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقطع المستقيمين س = 3 ، ص = 1 و ينصف الزاوية
بين المحورين ؟
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

** مع أرق أمنيات للجميع بالتفوق **